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微分几何基础 3

在这篇文章中，我希望学习关于$ \nabla $符号的一些基础知识，以及一个与黎曼曲率张量相关的重要公式。 I. 联络定义：光滑流形$ (M, \mathcal{O}) $上的联络$ \nabla $是一个映射，它把由向量场$ X $和$ (p, q) $-张量场$ T $组成的有序对映射为$ (p, q) $-张量场$ \nabla_X T $，满足： $ \nabla_X f = X f $, $\forall f \in C^\infty(M) $ $ \nabla_X (T + S) = \nabla_X T + \nabla_X S $ $ \nabla_X (T(\omega, Y)) = (\nabla_X T)(\omega, Y) + T(\nabla_X \omega, Y) + T(\omega, \nabla_X Y) $ （对于$ (1, 1) $-张量场$ T $，但对任意$ (p, q) $-张量场$ T $同理）。（“莱布尼茨”） ...

微分几何基础 2

在本文中，我们将更深入探讨微分几何的概念，主要聚焦于黎曼张量、里奇张量以及标量曲率的概念。一、黎曼张量 A. 定义我们从一个$d$维流形$M$出发，其上赋予了（伪）黎曼度规$g_{\mu\nu}$。与该度规相容的联络为Levi-Civita联络$\nabla$。黎曼曲率张量（常简称为黎曼张量）$R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}$定义为作用在向量场$V^\rho$上的协变导数的对易子： \[ \bigl[\nabla_\mu, \nabla_\nu\bigr] V^\rho \;=\; R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} \, V^\sigma. \] 用指标记号，另一种常见的写法是： \[ R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} \;=\; \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \;-\; \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} \;+\; \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\,\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} \;-\; \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\,\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}, \] 其中$\Gamma^\rho_{\mu\nu}$是与Levi-Civita联络相关的Christoffel符号。记号约定希腊指标$\mu, \nu, \rho, \sigma, \ldots$从0到$d-1$（若流形是$d$维）。通过度规$g_{\mu\nu}$升降指标，例如$V_\mu = g_{\mu\nu}V^\nu$。 $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$为Christoffel符号，定义为 \[ \Gamma^\rho_{\mu\nu} \;=\; \frac{1}{2}\,g^{\rho\lambda} \Bigl( \partial_\mu g_{\lambda\nu} +\partial_\nu g_{\lambda\mu} -\partial_\lambda g_{\mu\nu} \Bigr). \] B. 通过沿闭合回路的平行移动推导 1. 平行移动考虑流形上的一个向量场$V^\rho$。沿曲线$\gamma(\tau)$对$V^\rho$进行的“平行移动”由条件给出：$V^\rho$沿该曲线的切向方向的协变导数为零。数学上表示为： \[ \frac{dV^\rho}{d\tau} = \frac{d x^\mu}{d\tau} \nabla_\mu V^\rho = 0. \] 展开协变导数，得到： ...

微分几何的一些基础

在这篇文章中，我希望建立一些微分几何的基础，以便理解爱因斯坦场方程。 1. 黎曼曲率张量及其性质黎曼曲率张量的定义：黎曼曲率张量 $ R^i_{jkl} $ 是微分几何中的一个基本对象，表示流形的内禀曲率。其定义为： \[ R^i_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km} \Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm} \Gamma^m_{jk} \] 其中 $ \Gamma^i_{jk} $ 是克里斯托费尔符号。黎曼曲率张量的性质：比安基恒等式： \[ \nabla_m R^i_{jkl} + \nabla_k R^i_{jlm} + \nabla_l R^i_{jmk} = 0 \] 对称性：在最后两个指标上反对称： \[ R^i_{jkl} = -R^i_{jlk} \] 在交换第一对与第二对指标时反对称： \[ R^i_{jkl} = -R^j_{ikl} \] 应用：黎曼张量刻画当沿闭合回路进行平行输运时，向量被旋转或改变的程度。 2. 测地线及其推导原理测地线方程：测地线是在弯曲空间中连接两点的最短路径，其方程可通过极小化作用量得到： \[ \int ds = \int \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}} \, d\tau \] 其中 $ g_{\mu \nu} $ 是度量张量，$ \tau $ 是仿射参数。 ...

了解国债

我想了解一些关于国债的基础信息。我感兴趣的问题包括：票面利率如何确定？收益率如何确定？收益率与价格的关系是什么？收益率与利率的关系是什么？从宏观经济角度，美国、中国和日本的国债市场处于什么状态？我们参考这些讲座。国债是政府为筹资而发行的债务证券。它们以稳定性著称，是金融市场中的关键工具。以下是与国债相关关键概念的结构化说明。 1. 国债的内在属性国债具有两个内在属性：面值（本金）：到期时支付给债券持有人的金额。通常面值为$1,000，但可能有所不同。票面利率：发行时设定的固定年度利率，以面值的百分比表示。示例：面值为$1,000、票面利率为5%的债券每年支付$50利息。 2. 国债如何运作持有国债时，你将收到：定期票息支付：这些支付基于债券的票面利率。通常为半年付。到期偿还面值：在债券期限结束时，将向持有人返还面值。示意图：债券支付时间线 |--------------------|--------------------|--------------------| Maturity $25 $25 $25 $1,000 (Coupon Payment) (Coupon Payment) (Coupon Payment) (Face Value + Coupon Payment) 3. 市场交易：价格与收益率国债在二级市场交易，其价格和收益率会随市场状况变化。价格：债券价格是投资者愿意为其支付的金额。由于利率和需求变化，价格可能与面值不同。如果市场利率低于债券的票面利率，债券价格会上涨（溢价）。如果市场利率高于债券的票面利率，债券价格会下跌（折价）。收益率：投资者以当前价格买入并持有至到期所获得的回报。反向关系：价格与收益率反向变动。债券价格上升时，收益率下降，反之亦然。 4. 债券价格与到期收益率的计算债券价格等于所有未来现金流（票息支付和面值）按到期收益率（YTM）贴现后的现值之和。公式： \[ P = \sum \frac{C}{(1 + YTM)^t} + \frac{F}{(1 + YTM)^T} \] 其中： ...

能量-动量张量

在这篇文章中，我想构建一些关于爱因斯坦场方程的基础知识。首先，我将基于上一篇关于宇宙学的文章提出几个问题：什么是爱因斯坦张量和能量-动量张量？爱因斯坦场方程是如何推导出来的？在宇宙学背景下，什么是完美流体近似？我们如何从爱因斯坦场方程推导出弗里德曼方程和加速度方程？我们参考这门课程。 1. 四速度与固有时四速度 $ u^\mu $ 描述粒子在时空中的运动，定义为： \[ u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} \] 其中： $ x^\mu = (ct, x, y, z) $：时空坐标。 $ \tau $：固有时，即在粒子静止系中测得的时间。在广义相对论中，采用 $ (-, +, +, +) $ 度规符号约定时，四速度的归一化条件为： \[ u^\mu u_\mu = -c^2 \]如果我们使用自然单位制（$ c = 1 $），则可简化为： \[ u^\mu u_\mu = -1 \] 2. 能量与动量四动量 $ P^\mu $ 将能量 $ E $ 与空间动量 $ \vec{p} $ 组合在一起： \[ P^\mu = (E/c, \vec{p}) \]关键组成： ...

理解利润表与现金流量表

我正在学习金融投资，因此我会先尝试阅读财务报告，以了解世界范围内正在发生的商业活动。以下是了解一家公司的基础内容：利润表（损益表）：显示公司在特定期间的收入、费用和利润。需关注的关键指标包括：收入、毛利、营业利润、净利润。它有点像一段视频，显示公司在过去一段期间的经营活动。资产负债表：在特定时间点提供公司资产、负债与权益的快照。它能提供公司财务健康状况及资金来源的洞见。它就像一张快照。现金流量表：突出公司在一段期间内的现金流入与流出，聚焦于经营、投资与筹资活动。这里一个关键指标是自由现金流，表示公司在资本支出之后剩余的现金。股东权益变动表：解释相较上一期间权益的变动情况。利润表与现金流量表的区别 1. 利润表（损益表）关注重点：利润表展示公司在特定期间（例如一个季度或一年）的收入与费用，并最终计算净利润（盈亏）。它聚焦于权责发生制，即在收入实现时确认收入，在费用发生时确认费用，而不考虑实际现金何时收付。关键指标：净利润主要侧重点：聚焦一段期间内的盈利能力与财务表现。包括内容：收入（或销售额）：销售商品或提供服务获得的收入。销售成本（COGS）：与所售商品或服务直接相关的成本。营业费用：如研发、市场营销与行政管理等间接成本。利息与税费：与融资与税务相关的其他费用。示例：假设某公司（公司 X）销售产品，并在其年度利润表中报告如下：收入：$100,000 销售成本（COGS）：$40,000 营业费用：$30,000 利息费用：$5,000 税费：$5,000 净利润的计算如下： \[ \text{Net Income} = \text{Revenue} - \text{COGS} - \text{Operating Expenses} - \text{Interest} - \text{Taxes} \] \[ \text{Net Income} = 100,000 - 40,000 - 30,000 - 5,000 - 5,000 = 20,000 \] 因此，根据其利润表，该公司全年实现利润 $20,000。该利润已赚取，但可能尚未以现金形式收付。 2. 现金流量表关注重点：现金流量表展示在特定期间内的实际现金流入与流出。它反映公司的流动性——公司持有多少现金以支付账单、进行投资与运营。现金流量表将现金流分为三类：经营活动：由公司核心业务产生或使用的现金（类似净利润，但会调整非现金项目）。投资活动：购买或出售资产（如不动产、设备或投资）所产生的现金。筹资活动：与借款、发行或回购股票、支付股息相关的现金收付。关键指标：现金流（尤其是自由现金流，即资本支出后的剩余现金）。主要侧重点：展示流动性与现金可用性，指出公司是否有足够现金维持运营与增长。包括内容：经营活动现金流：对净利润进行调整，包括折旧、营运资金变动与非现金费用等。投资活动现金流：用于购买或出售长期资产（如不动产、设备或投资）的现金。筹资活动现金流：发行债务或权益所获现金，或用于支付股息与偿还债务的现金。示例：仍以公司 X 为例，假设其现金流量表如下： ...

暴胀宇宙学：我们的宇宙是否是多重宇宙的一部分？

我想学习宇宙学，也许从 Andrew Liddle 的书《An Introduction to Modern Cosmology》和 MIT OpenCourseWare 的课程《The Early Universe》开始。标准大爆炸它并不说明大爆炸的成因，而是描述大爆炸之后的结果。它假设在大爆炸之前所有物质已经存在。宇宙暴胀大爆炸的前传。当压力为负时，引力可以表现为排斥。（在下一部分了解更多关于引力与压力关系的内容。）早期宇宙中存在一块具有排斥性引力的物质，这就是大爆炸的成因。这种排斥性物质的（质量/能量）密度在膨胀过程中不会降低。解决办法是引入负能量。互补性：引力与压力的关系下面是对这些思想的高层次介绍，随后列出了一些宇宙学与广义相对论中的关键公式，展示为何负压可以产生排斥性的引力效应。 1. 能量-动量张量与爱因斯坦场方程在广义相对论（GR）中，引力由爱因斯坦场方程描述，它把时空的几何（通过爱因斯坦张量 $G_{\mu\nu}$）与时空的能量与动量内容（通过能量-动量张量 $T_{\mu\nu}$）联系起来： \[ G_{\mu\nu} \;=\; \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}, \]其中 $G$ 是引力常数，$c$ 是光速。左边体现时空的曲率，右边说明质量、能量、动量与压力如何决定这种曲率。完美流体近似在宇宙学中，我们常将宇宙的内容（无论是物质、辐射还是暴胀子场）建模为“完美流体”，其能量-动量张量写作： \[ T_{\mu\nu} \;=\; (\rho + p)\,u_{\mu}\,u_{\nu} \;+\; p\,g_{\mu\nu}. \] $\rho$ 是能量密度。 $p$ 是压力。 $u_\mu$ 是流体的四速度。 $g_{\mu\nu}$ 是时空的度规张量。这个公式体现了不仅 $\rho$，$p$ 也在决定时空曲率中扮演重要角色，而不仅仅是质量或能量密度本身。 2. 弗里德曼–勒梅特–罗伯逊–沃尔克（FLRW）宇宙学在宇宙学应用中，我们常假设宇宙是均匀、各向同性的，由 FLRW 度规描述。在这一假设下，从爱因斯坦场方程导出两条关键方程（弗里德曼方程）：弗里德曼方程（关于膨胀率 $H = \dot{a}/a$）： \[ H^2 \;=\; \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 \;=\; \frac{8\pi G}{3}\,\rho \;-\; \frac{k}{a^2} \;+\; \frac{\Lambda}{3}, \]其中 ...