我们想通过波函数来给不同的粒子分类。考虑一个双粒子系统，如果我们交换两个粒子，这个系统的状态会如何改变？
在经典力学中，即便两个粒子在物理属性上完全相同，我们原则上依然可以通过“标签”（比如“粒子1”和“粒子2”）来区分它们。因此，交换两个经典粒子的位置会产生一个新的、可区分的微观构型。
但在量子力学中，全同粒子是根本不可区分的。交换两个全同粒子（将粒子1移到位置 \(x_2\)，粒子2移到位置 \(x_1\)），系统的物理状态必须保持不变。
设想系统的态矢量为 \(|\psi\rangle\)，在位置表象下的波函数为：
\[ \psi(x_1, x_2) = \langle x_1, x_2 | \psi \rangle \]当我们说“交换粒子后物理状态不变”时，这并不意味着波函数本身必须严格相等，即不一定要求 \(\psi(x_2, x_1) = \psi(x_1, x_2)\)。这是因为在量子力学中，所有可观测的物理量（如概率密度、期望值）都只与波函数的模方 \(|\psi|^2\) 有关。因此，交换后的波函数允许与原波函数相差一个全局相位因子 \(e^{i\phi}\)：
\[ \psi(x_2, x_1) = e^{i\phi} \psi(x_1, x_2) \]其中 \(\phi\) 是一个实数。
然而，如果我们进行两次交换操作，粒子将物理地回到最初的位置。这种“复原”要求波函数也必须回到初始形式：
\[ \psi(x_1, x_2) \xrightarrow{\text{交换一次}} e^{i\phi} \psi(x_2, x_1) \xrightarrow{\text{再交换一次}} e^{i\phi} (e^{i\phi} \psi(x_1, x_2)) = e^{2i\phi} \psi(x_1, x_2) \]为保证波函数的一致性，必须满足：
\[ e^{2i\phi} = 1 \]这个方程只有两个解，这直接导致了自然界中粒子的两种基本分类：
- 玻色子 (Bosons)：对应 \(e^{i\phi} = 1\)。交换粒子后波函数不变（对称）： \[ \psi(x_2, x_1) = \psi(x_1, x_2) \]
- 费米子 (Fermions)：对应 \(e^{i\phi} = -1\)。交换粒子后波函数变号（反对称）： \[ \psi(x_2, x_1) = -\psi(x_1, x_2) \]
现在我们考虑如何构造玻色子和费米子的波函数 \(\psi(x_1, x_2)\)。一个简单的想法是直接将波函数写为单粒子波函数的乘积：
\[ \psi(x_1, x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \]这个直觉来自于概率论中的独立事件，因为波函数的模方代表概率。如果粒子之间没有相互作用，它们的联合概率分布应该是各自概率的乘积。然而，正如我们之前讨论的，全同粒子的波函数必须满足特定的交换对称性。显然，简单的乘积形式 \(\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\) 在交换 \(x_1\) 和 \(x_2\) 后变成了 \(\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\)，这通常既不等于原波函数（不对称），也不等于原波函数的负值（不反对称），因此它是物理上不合法的。
为了满足对称性或反对称性的要求，我们可以基于简单的乘积形式构造出线性叠加态。对于玻色子，我们需要构造一个交换对称的波函数，方法是将两种可能的排列相加：
\[ \psi_{\text{boson}}(x_1, x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2) + \psi_1(x_2)\psi_2(x_1) \]对于费米子，我们需要构造一个交换反对称的波函数，方法是将两种可能的排列相减：
\[ \psi_{\text{fermion}}(x_1, x_2) = \psi_1(x_1)\psi_2(x_2) - \psi_1(x_2)\psi_2(x_1) \]这样构造出的波函数就完美地满足了我们对玻色子和费米子的对称性要求。由此我们也可以直接推导出泡利不相容原理：如果我们尝试让两个费米子处于同一个量子态，即令 \(\psi_1 = \psi_2\)，代入费米子的波函数表达式中，我们会发现：
\[ \psi_{\text{fermion}} = \psi_1(x_1)\psi_1(x_2) - \psi_1(x_2)\psi_1(x_1) = 0 \]波函数直接为零，意味着这种物理状态根本不存在。这就是为什么两个费米子不能占据同一个量子态的数学本质。
对于多粒子态 \(\psi(x_1, x_2, x_3, \dots)\)，同样的规则依然适用。对于费米子系统，交换任意两个粒子的位置（例如 \(x_i\) 和 \(x_j\)），波函数必须改变符号：
\[ \psi(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) = -\psi(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) \]而对于玻色子系统，交换任意两个粒子，波函数保持不变：
\[ \psi(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) = \psi(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) \]考虑完了交换变换，我们现在来考虑旋转变换。在经典物理里，将一个物体旋转一圈（\(2\pi\)）是一个恒等变换，即物体回到了完全相同的状态。
但在量子力学中，旋转是由总角动量算符 \(J\) 生成的。类比于动量算符 \(P\) 是空间平移的生成元（即对应于对位置求导），角动量算符 \(J\) 对应于对角度 \(\theta\) 的求导。对于角动量算符的一个本征态 \(|\psi\rangle\)，其本征值为 \(m\)：
\[ J |\psi\rangle = -i \frac{\partial}{\partial \theta} |\psi\rangle = m |\psi\rangle \]这个微分方程的解告诉我们，旋转角度 \(\theta\) 后的波函数变为：
\[ |\psi(\theta)\rangle = e^{im\theta} |\psi(0)\rangle \]现在我们考察旋转一整圈（\(\theta = 2\pi\)）的情况：
\[ |\psi(2\pi)\rangle = e^{i m 2\pi} |\psi(0)\rangle \]根据角动量对易关系推导出的结论，角动量量子数 \(m\) 只能取整数或半整数。这再次将粒子分为了两类：
- 玻色子（整数自旋）：\(m\) 为整数，\(e^{i 2\pi m} = 1\)。波函数在旋转 \(2\pi\) 后保持不变（\(|\psi\rangle \to |\psi\rangle\)），符合经典直觉。
- 费米子（半整数自旋）：\(m\) 为半整数（如 \(1/2\)），\(e^{i 2\pi m} = -1\)。波函数在旋转 \(2\pi\) 后会改变符号（\(|\psi\rangle \to -|\psi\rangle\)）。这意味着对于费米子，旋转 \(360^\circ\) 并不能使波函数复原，需要旋转 \(720^\circ\)（\(4\pi\)）才能回到原始状态。