对 boson 来说，如果一个粒子在位置 \(x\)，另一个粒子在位置 \(y\)，那么交换这两个位置标签不会改变态：
\[ |x,y\rangle=|y,x\rangle. \]这里先把 \(x,y\) 理解成 position label，也就是一个粒子在 \(x\)，另一个粒子在 \(y\)。
从量子场论的角度看，这两个态可以由 creation field operator 作用在真空态上得到：
\[ |x,y\rangle=\Psi^\dagger(x)\Psi^\dagger(y)|0\rangle, \]\[ |y,x\rangle=\Psi^\dagger(y)\Psi^\dagger(x)|0\rangle. \]对 boson 来说，creation field operators commute with each other：
\[ [\Psi^\dagger(x),\Psi^\dagger(y)]=0. \]因此
\[ \Psi^\dagger(x)\Psi^\dagger(y)|0\rangle =\Psi^\dagger(y)\Psi^\dagger(x)|0\rangle, \]也就是
\[ |x,y\rangle=|y,x\rangle. \]对 fermion 来说，交换两个相同费米子会多出一个负号：
\[ |x,y\rangle=-|y,x\rangle. \]在 field operator 的语言里，这来自 fermion creation field operators 的 anti-commutation relation：
\[ \{\Psi^\dagger(x),\Psi^\dagger(y)\}=0. \]也就是说
\[ \Psi^\dagger(x)\Psi^\dagger(y) =-\Psi^\dagger(y)\Psi^\dagger(x). \]所以
\[ |x,y\rangle =\Psi^\dagger(x)\Psi^\dagger(y)|0\rangle =-\Psi^\dagger(y)\Psi^\dagger(x)|0\rangle =-|y,x\rangle. \]如果令 \(y=x\)，就得到
\[ |x,x\rangle=-|x,x\rangle. \]因此
\[ |x,x\rangle=0. \]这说明两个相同 fermion 不能占据同一个完整的单粒子态。这里如果只写 position label \(x\)，实际上是把自旋等其它标签省略了；真正被排除的是所有量子数都相同的状态。
creation operator 和 annihilation operator 在 boson 与 fermion 的情形中也有不同。
先看一个 boson mode。它的 annihilation operator 和 creation operator 记作 \(a\) 与 \(a^\dagger\)，满足
\[ [a,a^\dagger]=1. \]交换顺序以后，
\[ [a^\dagger,a]=-1. \]所以在 boson 的代数里，\(a\) 和 \(a^\dagger\) 是可以区分的：commutator 的顺序变了，符号也会变。
物理图像上，一个 boson mode 的 occupation number 可以是
\[ n=0,1,2,3,\dots \]creation operator 让它在 ladder 上往上走：
\[ a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \]annihilation operator 让它往下走：
\[ a|n\rangle=\sqrt n\,|n-1\rangle. \]这个 ladder 本身并不对称：往上可以一直到 infinity，往下只能到 \(0\)。当已经在 \(n=0\) 的真空态时，
\[ a|0\rangle=0. \]fermion 的单个 mode 则只有两个 occupation states：
\[ n=0,\qquad n=1. \]也就是说，这个 mode 要么是 empty，要么是 filled。对应的 creation 和 annihilation operators 满足
\[ \{a,a^\dagger\}=aa^\dagger+a^\dagger a=1, \]并且
\[ \{a,a\}=0,\qquad \{a^\dagger,a^\dagger\}=0. \]特别地，
\[ (a^\dagger)^2=0. \]这表示同一个 fermion mode 不能被 creation operator 作用两次。
在 occupation number basis 里，这些算符的作用是
\[ a^\dagger|0\rangle=|1\rangle,\qquad a^\dagger|1\rangle=0, \]\[ a|1\rangle=|0\rangle,\qquad a|0\rangle=0. \]creation operator 在 filled state 上给出 \(0\)，annihilation operator 在 empty state 上给出 \(0\)。因此 fermion 的单个 mode 只有
\[ |0\rangle \leftrightarrow |1\rangle \]这两个状态，empty 和 filled 在结构上比 boson 的无限 ladder 更对称。