我们来聊一聊量子场论的基本设定。
先从单个量子谐振子开始。它的能量本征方程写作
\[ H|\psi\rangle = E|\psi\rangle . \]它有一组离散的能量本征态。对谐振子而言，更方便的一组本征态是数态 \(|n\rangle\)（\(n=0,1,2,\dots\)），满足 \(H|n\rangle=E_n|n\rangle\)。我们引入湮灭算符 \(a\) 与创生算符 \(a^\dagger\)，令它们满足 \([a,a^\dagger]=1\)，并定义占据数算符 \(N=a^\dagger a\)。数态同时也是 \(N\) 的本征态：
\[ N|n\rangle = n|n\rangle . \]它们构成一组正交归一基，满足 \(\langle n|m\rangle=\delta_{nm}\)，并且有完备关系 \(\sum_{n=0}^{\infty}|n\rangle\langle n|=I\)。
升降算符在数态上的作用是
\[ a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle,\qquad a|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle . \]考虑多谐振子的情况（即有很多个彼此独立的谐振子自由度）。用 \(|n_1,n_2,n_3,\dots\rangle\) 表示：第 1 个谐振子的占据数为 \(n_1\)，第 2 个谐振子的占据数为 \(n_2\)，依此类推。第 \(j\) 个谐振子的创生算符 \(a_j^\dagger\) 会把 \(n_j\) 增加 1：
\[ a_j^\dagger|n_1,\dots,n_j,\dots\rangle =\sqrt{n_j+1}\,|n_1,\dots,n_j+1,\dots\rangle , \]相应地，\(a_j\) 会把 \(n_j\) 减少 1：
\[ a_j|n_1,\dots,n_j,\dots\rangle =\sqrt{n_j}\,|n_1,\dots,n_j-1,\dots\rangle . \]在通常的量子力学里，我们常常固定粒子数来讨论。单粒子波函数是 \(\psi(x)=\langle x|\psi\rangle\)。如果粒子数固定为 \(N\)，多粒子波函数可以写作 \(\psi(x_1,x_2,\dots,x_N)=\langle x_1,x_2,\dots,x_N|\Psi\rangle\)。
如果粒子数不固定，而允许 0 粒子、1 粒子、2 粒子……这些情况同时被讨论，那么我们需要一个“总的”希尔伯特空间来容纳它们。一个很直观的做法是：选定一组完备、正交归一的单粒子基 \(\{|u_j\rangle\}\)，把每个编号 \(j\) 看成一个彼此独立的谐振子自由度；用一对升降算符 \(a_j,a_j^\dagger\) 来减少/增加这个自由度的占据数。接下来我们还会引入一个带位置标签的算符 \(\hat{\Psi}(x)\)。它的厄米共轭 \(\hat{\Psi}^\dagger(x_0)\) 作用在全零占据数的态（下面会记作 \(|0\rangle\)）上，会给出单粒子的位置本征态 \(|x_0\rangle\)：
\[ \hat{\Psi}^\dagger(x_0)\,|0\rangle = |x_0\rangle . \]为了把这个想法写成可计算的形式，我们先选取一组完备、正交归一的单粒子态 \(\{|u_j\rangle\}\)（\(j=1,2,\dots\)）。这里的 \(j\) 只是单粒子基向量的编号（例如动量本征态的标签），不是“粒子数”；粒子数由 \(|n\rangle\) 或 \(|n_1,n_2,\dots\rangle\) 里的 \(n,n_j\) 来表示。
这里需要强调一个容易混淆的点：\(|u_j\rangle\) 是“单粒子希尔伯特空间”里的态向量；而后面会出现的 \(|1_j\rangle\) 则是我们用许多谐振子构造出来的“总空间”里的向量。它们严格来说不住在同一个空间里，因此不能直接写成 \(|u_j\rangle=|1_j\rangle\)。所谓“对应”，指的是：只看总占据数为 1 的那部分状态，它与单粒子空间可以一一对应。为了计算方便，我们约定基底之间的对应关系为
\[ |u_j\rangle \longleftrightarrow |1_j\rangle \equiv a_j^\dagger|0\rangle. \]这样，任意单粒子态若写作 \(|\psi\rangle=\sum_j c_j|u_j\rangle\)，那么它在“总占据数为 1”的那部分里就写作 \(\sum_j c_j|1_j\rangle\)。两边用的是同一组系数 \(c_j\)，描述的是同一个单粒子物理态，只是用两套记号来表达。
在位置表象中，这组单粒子态对应的波函数记为
\[ u_j(x)\equiv \langle x|u_j\rangle,\qquad \langle u_j|x\rangle=u_j^*(x). \]并满足完备性
\[ \sum_j |u_j\rangle\langle u_j| = I \]（这里的 \(I\) 是单粒子希尔伯特空间上的单位算符）。
接着，对每个编号 \(j\)（也就是我们选定的那组单粒子基 \(|u_j\rangle\) 的编号）引入一对湮灭/创生算符 \(a_j, a_j^\dagger\)。你可以把它们理解为“第 \(j\) 个谐振子”的升降算符：第 \(j\) 个谐振子的占据数（激发数）记作 \(n_j\)。这些算符满足
\[ [a_j,a_k^\dagger]=\delta_{jk},\qquad [a_j,a_k]=0,\qquad [a_j^\dagger,a_k^\dagger]=0. \]这组对易关系保证：对每个固定的 \(j\)，\(\{a_j,a_j^\dagger\}\) 的代数结构与单个谐振子的升降算符相同，因此会自然出现数态以及 \(\sqrt{n_j}\) 这样的系数。我们用占据数基底（用每个谐振子的占据数 \(n_j\) 来标记的基底）
\[ |n_1,n_2,\dots\rangle \]上定义它们的作用：
\[ a_j|n_1,\dots,n_j,\dots\rangle=\sqrt{n_j}\,|n_1,\dots,n_j-1,\dots\rangle, \]\[ a_j^\dagger|n_1,\dots,n_j,\dots\rangle=\sqrt{n_j+1}\,|n_1,\dots,n_j+1,\dots\rangle. \]全零占据数的态（也就是所有谐振子的占据数都为 0）定义为
\[ |0\rangle \equiv |0,0,0,\dots\rangle. \]于是“只有第 \(j\) 个谐振子的占据数为 1，其它都为 0”的态是
\[ a_j^\dagger|0\rangle = |0,\dots,1_j,\dots\rangle \equiv |1_j\rangle. \]这里的 \(|1_j\rangle\) 表示“只有第 \(j\) 个谐振子被激发一次”的态。只看总占据数为 1 的那一部分状态，它与单粒子希尔伯特空间自然对应：在这个对应下，\(|1_j\rangle\) 与单粒子态 \(|u_j\rangle\) 一一对应。
现在定义这组带位置标签的算符为
\[ \hat{\Psi}(x)=\sum_j a_j\,u_j(x)=\sum_j a_j\langle x|u_j\rangle, \qquad \hat{\Psi}^\dagger(x)=\sum_j a_j^\dagger\,u_j^*(x)=\sum_j a_j^\dagger\langle u_j|x\rangle. \]用这个展开，我们可以验证上面的性质。对 \(|0\rangle\) 作用：
\[ \hat{\Psi}^\dagger(x_0)|0\rangle \;=\sum_j a_j^\dagger\,\langle u_j|x_0\rangle\,|0\rangle \;=\sum_j \langle u_j|x_0\rangle\,(a_j^\dagger|0\rangle) \;=\sum_j \langle u_j|x_0\rangle\,|1_j\rangle . \]另一方面，由完备关系 \(\sum_j|u_j\rangle\langle u_j|=I\)（这是单粒子空间里的等式）立刻得到
\[ |x_0\rangle = \sum_j |u_j\rangle\langle u_j|x_0\rangle = \sum_j \langle u_j|x_0\rangle\,|u_j\rangle . \]将单粒子态 \(|u_j\rangle\) 与“总占据数为 1”的态 \(|1_j\rangle\) 做上面的一一对应识别后，两式逐项相同，因此 \(\hat{\Psi}^\dagger(x_0)|0\rangle=|x_0\rangle\) 成立。
顺着这个思路，我们也可以用 \(\hat{\Psi}^\dagger(x)\) 来“在位置 \(x\) 处加一份激发”，从而构造两次激发的态。注意到玻色子的创生算符彼此对易：
\[ [a_j^\dagger,a_k^\dagger]=0, \]于是由 \(\hat{\Psi}^\dagger(x)=\sum_j a_j^\dagger\,\langle u_j|x\rangle\) 可以把对易子直接展开来算：
\[ [\hat{\Psi}^\dagger(x),\hat{\Psi}^\dagger(y)] =\hat{\Psi}^\dagger(x)\hat{\Psi}^\dagger(y)-\hat{\Psi}^\dagger(y)\hat{\Psi}^\dagger(x). \]把 \(\hat{\Psi}^\dagger\) 的展开代入：
\[ \hat{\Psi}^\dagger(x)\hat{\Psi}^\dagger(y) =\sum_{j,k} a_j^\dagger a_k^\dagger\,\langle u_j|x\rangle\,\langle u_k|y\rangle, \]\[ \hat{\Psi}^\dagger(y)\hat{\Psi}^\dagger(x) =\sum_{j,k} a_j^\dagger a_k^\dagger\,\langle u_j|y\rangle\,\langle u_k|x\rangle. \]因此
\[ [\hat{\Psi}^\dagger(x),\hat{\Psi}^\dagger(y)] =\sum_{j,k}\Bigl(a_j^\dagger a_k^\dagger-a_k^\dagger a_j^\dagger\Bigr)\,\langle u_j|x\rangle\,\langle u_k|y\rangle =\sum_{j,k}[a_j^\dagger,a_k^\dagger]\,\langle u_j|x\rangle\,\langle u_k|y\rangle =0. \]因此定义
\[ |x,y\rangle\equiv \hat{\Psi}^\dagger(x)\hat{\Psi}^\dagger(y)|0\rangle, \]交换两个位置标签不会改变这个态：
\[ |y,x\rangle=\hat{\Psi}^\dagger(y)\hat{\Psi}^\dagger(x)|0\rangle =\hat{\Psi}^\dagger(x)\hat{\Psi}^\dagger(y)|0\rangle =|x,y\rangle. \]这说明两次激发的态在交换下是对称的，这正是玻色子的交换对称性。