我们开始于一个 setup：Hamiltonian 中的势能 \(V(x)\) 形状类似于一个对称的双势阱，有两个对称的极小值点，中间的 barrier 非常高（此处插入势能示意图）。我们来讨论这个系统的能量本征态，以及态的时间演化。
首先要 solve 定态薛定谔方程 \(H|\psi\rangle = E|\psi\rangle\) 来找能量的本征值和本征态。这里本征态在 \(x\) 表象下的投影就是波函数 \(\psi(x)=\langle x|\psi\rangle\)。
假设 \(V(x)\) 中间的 barrier 高到了无穷大，那么粒子被完全限制在左右两个势阱里，我们可以近似认为系统有左右两个局域态 \( |\psi_L\rangle\)、\( |\psi_R\rangle\)。它们对应的能量本征值应该相同，设为 \(E_0\)，也就是能量简并。
但实际不会如此：当 barrier 有限且 \(V(x)\) 对称时，能量本征态的波函数要么对称要么反对称，而上面的局域态 \( |\psi_L\rangle\)、\( |\psi_R\rangle\) 本身均不满足。于是能量本征态可以取为它们的对称/反对称组合：
\[ |\psi_1\rangle=\frac{|\psi_L\rangle+|\psi_R\rangle}{\sqrt{2}},\qquad E_1=E_0-\epsilon, \]\[ |\psi_2\rangle=\frac{|\psi_L\rangle-|\psi_R\rangle}{\sqrt{2}},\qquad E_2=E_0+\epsilon. \]对于能量本征态，它们满足如下时间演化（这里取 \(\hbar=1\)）：
\[ |\psi_n(t)\rangle=e^{-iE_n t}|\psi_n(0)\rangle. \]我们现在假设初始状态为 \( |\psi(0)\rangle=|\psi_L\rangle\)，即粒子在左边。注意这个不是能量本征态，但可以表达为本征态的线性组合：
\[ |\psi_L\rangle=\frac{|\psi_1\rangle+|\psi_2\rangle}{\sqrt{2}},\qquad |\psi_R\rangle=\frac{|\psi_1\rangle-|\psi_2\rangle}{\sqrt{2}}. \]随时间演化，在时刻 \(t\) 有
\[ |\psi(t)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-iE_1 t}|\psi_1\rangle+e^{-iE_2 t}|\psi_2\rangle\right) = e^{-iE_0 t}\left(\cos(\epsilon t)\,|\psi_L\rangle+i\sin(\epsilon t)\,|\psi_R\rangle\right). \]取 \(t=\pi/(2\epsilon)\)，会发现 \( |\psi(t)\rangle = i e^{-iE_0 t}|\psi_R\rangle\)，也就是（忽略整体相位）这正好对应粒子在右边。于是系统会在 \( |\psi_L\rangle\) 和 \( |\psi_R\rangle\) 这两种状态之间来回振荡。
我们回到基本的量子力学：给定态 \( |\psi\rangle\)，在 \(x\) 表象与动量 \(p\) 表象下的波函数分别是 \(\psi(x)=\langle x|\psi\rangle\) 与 \(\tilde\psi(p)=\langle p|\psi\rangle\)。它们可以通过傅里叶变换连接（继续取 \(\hbar=1\)）：
\[ \tilde\psi(p)=\int \frac{dx}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-ipx}\psi(x),\qquad \psi(x)=\int \frac{dp}{\sqrt{2\pi}}\,e^{ipx}\tilde\psi(p). \]现在考虑二次量子化的场景。湮灭场算符可以在一组完备的单粒子正交基 \(\{\psi_i(x)\}\) 上展开：
\[ \Psi^-(x)=\sum_i a_i^-\,\psi_i(x). \]这里 \(\psi_i(x)\) 可以取为单粒子哈密顿量的能量本征态，而 \(a_i^-\) 的意思是把第 \(i\) 个模（可以类比为第 \(i\) 个谐振子）里的粒子数降低 1。
对于自由粒子 \(H=\hat p^{\,2}/(2m)\)，在一维 \(x\) 空间里定态方程的解可以写成平面波的线性组合 \(Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\)，并且 \(E=k^2/(2m)\)。在 \(\hbar=1\) 的约定下 \(p=k\)，所以 \(e^{ipx}\) 就是动量本征态在位置表象下的波函数。由于 \(p\) 是连续的，把求和改成积分，就得到
\[ \Psi^-(x)=\int \frac{dp}{\sqrt{2\pi}}\,a^-(p)\,e^{ipx}, \]其中 \(a^-(p)\) 的意思是湮灭一个动量为 \(p\) 的粒子。为了和上面的形式对应，也可以把它写成一对互逆的傅里叶变换：
\[ a^-(p)=\int \frac{dx}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-ipx}\Psi^-(x). \]形式上这就是傅里叶变换，而这也符合直觉：\(\Psi^-(x)\) 的含义是在位置 \(x\) 处湮灭一个粒子；\(\Psi^+(x)\) 和 \(a^+(p)\) 也有类似的关系（它们分别是上述算符的共轭）。