在这篇文章中，我想构建一些关于爱因斯坦场方程的基础知识。首先，我将基于上一篇关于宇宙学的文章提出几个问题：
- 什么是爱因斯坦张量和能量-动量张量？
- 爱因斯坦场方程是如何推导出来的？
- 在宇宙学背景下，什么是完美流体近似？
- 我们如何从爱因斯坦场方程推导出弗里德曼方程和加速度方程？
我们参考这门课程。
1. 四速度与固有时
四速度 \( u^\mu \) 描述粒子在时空中的运动，定义为：
其中：
- \( x^\mu = (ct, x, y, z) \)：时空坐标。
- \( \tau \)：固有时，即在粒子静止系中测得的时间。
在广义相对论中，采用 \( (-, +, +, +) \) 度规符号约定时，四速度的归一化条件为：
如果我们使用自然单位制（\( c = 1 \)），则可简化为：
2. 能量与动量
四动量 \( P^\mu \) 将能量 \( E \) 与空间动量 \( \vec{p} \) 组合在一起：
关键组成：
- \( E = \gamma m c^2 \)：相对论能量。
- \( \vec{p} = \gamma m \vec{v} \)：相对论动量。
关键关系：
- 对具有静止质量 \( m \) 的粒子： \[ P^\mu P_\mu = -m^2 c^2 \]
- 对于无质量粒子（例如光子）： \[ P^\mu P_\mu = 0 \]
3. 数密度与数流
数密度 \( n \) 表示在给定参考系中的粒子密度，而数流 \( N^\mu \) 是一个描述粒子通量的四矢量。
不同参考系中密度的关系：
- 静止系密度：\( n_0 \)
- 运动参考系下的密度（含洛伦兹因子变换）： \[ n = n_0 \gamma \]
数流：
\[ N^\mu = n u^\mu \]其中 \( u^\mu \) 为四速度。具体为：
\[ N^\mu = (n_0 \gamma, n_0 \gamma \vec{v}) = (n, n \vec{v}) \]分量：
- 时间方向：\( N^0 = n \)（实验室系中的数密度）。
- 空间方向：\( N^i = n v^i \)（沿 \( x, y, z \) 方向的粒子通量）。
关联 \( n_t \) 与 \( n_x \)：
由关系：
\[ n_t V = n_x (S t) \]由于 \( V = S \cdot l \)，其中 \( S \) 为截面积，\( l \) 为体系长度：
\[ n_t (S \cdot l) = n_x (S \cdot t) \]约去 \( S \)：
\[ n_t \cdot l = n_x \cdot t \]解得 \( n_x \)：
\[ n_x = \frac{n_t \cdot l}{t} \]由于 \( l/t = v \)（流速）：
\[ n_x = n_t \cdot v \]这表明空间数密度 \( n_x \) 与时间方向密度 \( n_t \) 以及流速 \( v \) 成正比。
粒子数守恒
连续方程在四维时空中表达粒子数守恒：
\[ \partial_\mu N^\mu = 0 \]这源自以下关系：
\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n \vec{v}) = 0 \]其中：
- 时间分量：\(\frac{\partial n}{\partial t}\) 表示粒子数密度的变化率。
- 空间分量：\(\nabla \cdot (n \vec{v})\) 表示粒子通量的散度。
当然！下面是对你的内容进行整理和结构化的版本，包含分节、解释以及格式规范的方程。
4. Levi-Civita 记号
Levi-Civita 记号
Levi-Civita 符号（ε）是矢量分析与微分几何中的一个基本张量，用于表达涉及叉乘与行列式的运算。在三维情形，它定义为：
\[ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is an even permutation of } (1,2,3), \\ -1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is an odd permutation of } (1,2,3), \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \]三维中的体积形式
给定 \(\mathbb{R}^3\) 中的三个向量 A、B 和 C，它们张成的体积 \( V^3 \) 可用 Levi-Civita 符号表示为：
\[ V^3 = \epsilon(A, B, C) = \epsilon_{ijk} A^i B^j C^k \]微分形式与 1-形式
当减少向量的数量时，我们可以通过固定其中一个指标，用 Levi-Civita 符号定义一个 1-形式。例如，“只放入两个向量” B 和 C，可得到：
\[ \epsilon(-, B, C) = \epsilon_{ijk} B^j C^k \]该表达式表示三维空间中的一个 1-形式。
5. 连续方程
三维中的高斯定理
高斯定理（亦称散度定理）将向量场 A 通过封闭曲面 \( S \) 的通量，与由 \( S \) 围成的体积 \( V \) 内 A 的散度联系起来：
\[ \oint_{S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{A}) \, dV \]用微分形式语言，可以写为：
\[ \oint_{S} \delta \mathbf{A} \, dV = \oint_{S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{\Sigma} \]其中 \( \delta \) 表示余微分算符。
推广到四维
将高斯定理推广到四维时空需要考虑一个四矢量场及其相关的三维超曲面。四维中的广义高斯定理将四矢量场 N 穿过四维体 \( V^4 \) 的边界的通量，与 \( V^4 \) 内 N 的散度联系起来：
\[ \oint_{\partial V^4} \mathbf{N} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \int_{V^4} (\partial_\mu N^\mu) \, dV^4 \]此处，\( d\mathbf{\Sigma} \) 是四维空间中的有向三维超曲面元。
守恒定律
守恒定律是物理学中的基本原理，表达某些物理量随时间的不变性。一般的守恒律可写为：
\[ \partial_\mu N^\mu = 0 \]该方程意味着流四矢量 N 的四散度为零，表示相关量的守恒。
将高斯定理应用于该守恒律：
\[ \oint_{\partial V^4} \mathbf{N} \cdot d\mathbf{\Sigma} = 0 \]这表明任意四维体 \( V^4 \) 的边界上的 N 的净通量为零，从而保证体积内的守恒。
连续方程的推导
为了从守恒律推导连续方程，考虑空间体积 \( V \) 内守恒量的时间演化。
从守恒律出发：
\[ \partial_\mu N^\mu = 0 \]在四维时空中展开散度：
\[ \frac{\partial N^0}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{N} = 0 \]在空间体积 \( V \) 上积分：
\[ \int_{V} \frac{\partial N^0}{\partial t} \, dV + \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{N} \, dV = 0 \]对第二项应用高斯定理：
\[ \frac{d}{dt} \int_{V} N^0 \, dV = - \oint_{S} \mathbf{N} \cdot d\mathbf{a} \]其中：
- \( S \) 是体积 \( V \) 的边界曲面。
- \( d\mathbf{a} \) 是 \( S \) 上的外指向面积元。
这就是连续方程，用穿过边界的通量来表达 \( V \) 内守恒量的变化率。
6. 连续方程的示例
连续方程是表达能量、动量等多种物理量守恒的有力工具。通过适当定义流四矢量 N，一般的连续方程
\[ \partial_\mu N^\mu = 0 \]可以特化为能量守恒与动量守恒。下面我们展示这一框架如何应用于能量与动量的守恒。
能量守恒
能量流的定义
为用连续方程表述能量守恒，我们将流四矢量 N 的分量定义为：
- \( N^0 \)：表示能量密度 \( \rho \)，即单位体积内的能量。
- \( \mathbf{N} \)：表示能量通量矢量 \( \mathbf{S} \)，描述能量在空间中的流动（例如电磁学中的坡印廷矢量）。
因此，用于能量守恒的四矢量 N 为：
\[ \mathbf{N} = (\rho, \mathbf{S}) \]应用连续方程
将上述定义代入连续方程：
\[ \partial_\mu N^\mu = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = 0 \]该方程表明，体积 \( V \) 内能量的变化率与体积流出的净能量通量之和为零，从而保证能量守恒。
积分形式：能量守恒
在空间体积 \( V \) 上积分并应用高斯定理：
\[ \frac{d}{dt} \int_{V} \rho \, dV + \oint_{S} \mathbf{S} \cdot d\mathbf{a} = 0 \]该积分形式表明，体积 \( V \) 内总能量的时间变化率等于边界曲面 \( S \) 上净能量通量的负值。换言之，在 \( V \) 内能量既不会被创造也不会被毁灭；它只能流入或流出。
例子：电磁能量守恒
在电磁学中，能量密度 \( \rho \) 与坡印廷矢量 \( \mathbf{S} \) 给定为：
\[ \rho = \frac{1}{2} (\epsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}^2) \]\[ \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{B} \]将其代入连续方程得到坡印廷定理，它描述了电磁能量的守恒。
动量守恒
动量流的定义
对于动量守恒，流四矢量 N 以动量密度与动量通量来定义。具体为：
- \( N^0 \)：表示动量密度 \( \mathbf{p} \)，即单位体积内的动量。
- \( \mathbf{N} \)：表示动量通量张量 \( \mathbf{T} \)，亦称应力张量，描述动量在空间中的流动。
在张量记号中，应力张量 \( T^{ij} \)（其中 \( i, j \) 为空间分量）刻画第 \( i \) 个动量分量通过垂直于第 \( j \) 轴的面的通量。
因此，用于动量守恒的流四矢量 N 可写为：
\[ \mathbf{N} = (\mathbf{p}, \mathbf{T}) \]应用连续方程
将上述定义代入每个动量分量 \( p^i \) 的连续方程：
\[ \partial_\mu N^{\mu i} = \frac{\partial p^i}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{T}^i = 0 \]其中，\( \mathbf{T}^i \) 是应力张量的第 \( i \) 列，表示第 \( i \) 个动量分量的通量。
积分形式：动量守恒
在空间体积 \( V \) 上积分并应用高斯定理：
\[ \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{p} \, dV + \oint_{S} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} = 0 \]该方程表明，体积 \( V \) 内总动量的时间变化率等于边界曲面 \( S \) 上净动量通量的负值。这保证了体积内的动量守恒，计入任何通过边界的动量交换。
例子：流体力学
在流体力学中，应力张量 \( \mathbf{T} \) 同时包含压强与黏性应力的贡献：
\[ T^{ij} = -p \delta^{ij} + \sigma^{ij} \]其中：
- \( p \) 为压强，
- \( \delta^{ij} \) 为 Kronecker δ，
- \( \sigma^{ij} \) 表示黏性应力张量。
代入动量连续方程可得 Navier–Stokes 方程，描述流体物质的运动。
7. 能量-动量张量
能量-动量张量，常记为 \( T^{\mu\nu} \)，是一个二阶张量，将与能量、动量以及应力（压强与剪切）相关的各种物理量统一到一个数学框架中。
能量-动量张量的分量
能量-动量张量可分解为若干分量，分别表示不同的物理方面：
\( T^{00} \)：能量密度（\( \rho \)）
表示单位体积内的能量。
\( T^{0i} \) 与 \( T^{i0} \)：动量密度（\( p^i \)）与能量通量（\( S^i \)）
- \( T^{0i} \)：在第 \( i \) 个空间方向上的动量密度。
- \( T^{i0} \)：在第 \( i \) 个空间方向上的能量通量（例如电磁学中的坡印廷矢量）。
\( T^{ij} \)：应力张量（\( \sigma^{ij} \)）
表示第 \( i \) 个动量分量通过垂直于第 \( j \) 轴的面的通量。它包含压强（对角元）与剪切应力（非对角元）。
统一能量与动量守恒
在前述内容中，能量和动量守恒分别通过连续方程来处理。能量-动量张量将这些守恒定律统一为一个简洁而优雅的数学表达。
再述连续方程
能量守恒：
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = 0 \]- \( \rho \)：能量密度（\( T^{00} \)）
- \( \mathbf{S} \)：能量通量（\( T^{0i} \)）
动量守恒：
\[ \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{T} = 0 \]- \( \mathbf{p} \)：动量密度（\( T^{i0} \)）
- \( \mathbf{T} \)：应力张量（\( T^{ij} \)）
合并为能量-动量张量
能量-动量张量 \( T^{\mu\nu} \) 将这些连续方程合并为一个陈述：
\[ \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0 \]这里，\( \nu \) 可取 \( 0, 1, 2, 3 \)，分别对应时间与空间分量。该单一张量方程同时蕴含能量与动量守恒：
当 \( \nu = 0 \) 时：
\[ \partial_\mu T^{\mu 0} = \frac{\partial T^{00}}{\partial t} + \frac{\partial T^{10}}{\partial x} + \frac{\partial T^{20}}{\partial y} + \frac{\partial T^{30}}{\partial z} = 0 \]这等价于能量守恒方程。
当 \( \nu = i \)（空间指标）时：
\[ \partial_\mu T^{\mu i} = \frac{\partial T^{0i}}{\partial t} + \frac{\partial T^{1i}}{\partial x} + \frac{\partial T^{2i}}{\partial y} + \frac{\partial T^{3i}}{\partial z} = 0 \]这些分别等价于每个空间方向 \( i \) 的动量守恒方程。
能量-动量张量的意义
守恒律的统一
借助能量-动量张量，能量与动量守恒在时空结构中被平等对待。这在相对论物理中尤为重要，因为时空是交织在一起的，能量与动量的区分不再那么直观。
在广义相对论中的源项
在爱因斯坦的广义相对论中，能量-动量张量是爱因斯坦场方程中的源项：
\[ G^{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu} \]其中，\( G^{\mu\nu} \) 是描述时空曲率的爱因斯坦张量，\( G \) 是引力常数，\( c \) 是光速。该方程表明物质与能量（编码在 \( T^{\mu\nu} \) 中）如何决定时空的几何。