对称性可以理解为一种算符，当作用于系统时，使其基本特征保持不变。例如，晶格具有平移对称性；沿晶格矢量移动其位置并不会改变其结构。在量子力学中，这一概念与能级的简并密切相关。简并意味着不同的量子态可以具有相同的能量。虽然对称性有时意味着简并，但能级的简并总是系统中某种潜在对称性的标志。
让我们从旋转对称性出发。设想一个在圆周上运动的粒子，这是一个在旋转下不变的系统。其状态由波函数 \(\psi(\theta)\) 描述。如果我们将系统逆时针旋转一个无穷小角度 \(\epsilon\)，波函数变换为 \(\psi(\theta) \rightarrow \psi(\theta - \epsilon)\)。波函数的变化 \(\Delta\psi\) 可写为：
\[ \Delta\psi \approx -\epsilon \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = -\frac{i\epsilon}{\hbar} \left(-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) \]注意到角动量算符是 \(L_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\theta}\)，于是有：
\[ \Delta\psi = -\frac{i\epsilon}{\hbar}L_z\psi \]在此语境下，\(L_z\) 是旋转的生成元。将其作用于波函数，刻画一次微小旋转的效果。同样的原理适用于线性动量，其中 \(p_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) 是沿 x 轴平移的生成元。需注意，为了简化，计算中有时将 \(\hbar\) 取为 1，但这里将其显式保留。
角动量算符的本征值和本征向量是什么？本征方程为 \(L_z|\psi\rangle = m|\psi\rangle\)，其中 \(m\) 是本征值。这给出微分方程：
\[ -i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial\theta} = m\psi(\theta) \]其解具有形式 \(\psi(\theta) = C e^{im\theta/\hbar}\)。一个物理约束是波函数必须是单值的，即 \(\psi(\theta) = \psi(\theta + 2\pi)\)。这意味着经过一周旋转后，波函数必须回到原状。这导致条件：
\[ e^{im2\pi/\hbar} = 1 \]当且仅当 \(m/\hbar\) 为整数时成立。传统上，我们将该整数记作 \(m\)，于是角动量被量子化，其允许取值为 \(L_z = m\hbar\)。
系统的能量与角动量量子数 \(m\) 相联系。一个关键问题是能量态是否简并，例如 \(E(m) = E(-m)\) 是否成立。这并非总是如此；例如外加磁场可能会破坏这种对称性。仅有旋转对称性不足以保证这种简并。还需要附加的对称性，如反射对称性。如果系统关于某一轴（例如 xy 平面中的 x 轴）具有反射对称，则顺时针与逆时针运动是等价的。这种镜像对称性保证 \(E(m) = E(-m)\)。因此，正是这两种对称性——旋转与反射——的结合，解释了在这种情况下能级的简并。
具有相反角动量的态之间的简并 \(E(m) = E(-m)\) 源于旋转与反射对应的算符不对易。我们可以通过考察这些算符对系统波函数的作用来加以证明。定义一个反射算符 \(M\)，其对波函数的作用为 \(M\psi(\theta) = \psi(-\theta)\)。为了看清它与旋转生成元 \(L_z\) 的相互作用，我们可以计算它们对一个角动量本征函数 \(\psi_m(\theta) = e^{im\theta}\) 的对易子。
我们分别计算 \(M L_z\) 与 \(L_z M\) 在 \(\psi_m(\theta)\) 上的作用。注意 \(L_z \psi_m(\theta) = m\hbar \psi_m(\theta)\)，于是有：
\[ ML_z\psi_m(\theta) = M(m\hbar\psi_m(\theta)) = m\hbar\psi_m(-\theta) = m\hbar e^{-im\theta} \]对于另一项，我们得到：
\[ L_zM\psi_m(\theta) = L_z\psi_m(-\theta) = L_z e^{-im\theta} = -m\hbar e^{-im\theta} \]因此该对易子 \([M, L_z] = ML_z - L_zM\) 作用在本征函数上为：
\[ [M, L_z]\psi_m(\theta) = m\hbar e^{-im\theta} - (-m\hbar e^{-im\theta}) = 2m\hbar e^{-im\theta} \]由于结果不为零（当 \(m \neq 0\) 时），这两个算符不对易，于是 \([M, L_z] \neq 0\)。
当一个系统具有多种对称性时，它们的相互作用可以产生额外的守恒律。设有两个对称算符 \(A\) 与 \(B\)，它们都与哈密顿算符 \(H\) 对易，即 \([A,H]=0\) 与 \([B,H]=0\)。这两个算符的对易子未必为零。若 \(A\) 与 \(B\) 是厄米的，则它们的对易子是反厄米的，我们可以定义一个新的厄米算符 \(C\)，使得 \([A,B] = iC\)。这个新算符同样是一个守恒量。我们可以证明它与哈密顿算符对易，因为 \([A,H]\) 与 \([B,H]\) 都为零：
\[ [AB-BA, H] = A[B,H] + [A,H]B - B[A,H] - [B,H]A = 0 \]通过继续取对易子可以进一步生成新的对称性，例如 \(A\) 与 \(C\)，或者 \(B\) 与 \(C\)，可能产生新的算符 \(D, E\)，等等。这个过程可能无限进行，导致无限多个对称性；也可能在有限步后终止。所得的一组对称算符在对易运算下封闭，被称为对易代数，它刻画了系统的完整对称性。
这一原理可以用一个经典类比来说明：行星轨道的开普勒问题。考虑一条具有特定能量 E 的轨道，其角动量矢量 \(\vec{L}\) 垂直于轨道平面。由于中心引力的旋转对称性，我们可以重新定向整条轨道——例如围绕 y 轴将其旋转——得到一个新的构型。这个新轨道具有完全相同的能量 E，但其角动量矢量的方向已改变。这直接以物理方式体现了这样一个原理：将角动量的某一轴分量绕另一轴旋转会影响其在另一轴上的分量，这一思想由角动量算符的对易关系加以形式化。更深刻的是，开普勒问题还具有一个与拉普拉斯-龙格-楞次矢量守恒相关的“隐藏”对称性。正是包括旋转不变性与这一附加守恒律在内的完整对称性集合，解释了该系统的广泛简并性，即不同偏心率的轨道可以具有相同的能量。
我们可以将这一概念推广到二维 xy 平面内自由运动的粒子，而非限制在圆周上。为了在这一更一般的情形下找到旋转的生成元，我们首先考察坐标 \((x, y)\) 在一个无穷小逆时针转角 \(\epsilon\) 下如何变换。坐标的变化分别为 \(\Delta x = -\epsilon y\) 与 \(\Delta y = \epsilon x\)。这种旋转会引起波函数 \(\psi(x, y)\) 的变化。利用全微分，我们可以将波函数的变化写成：
\[ \Delta\psi \approx \frac{\partial\psi}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial\psi}{\partial y}\Delta y = \frac{\partial\psi}{\partial x}(-\epsilon y) + \frac{\partial\psi}{\partial y}(\epsilon x) = \epsilon\left(x\frac{\partial\psi}{\partial y} - y\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) \]为了将其联系到量子力学算符，我们回忆位置表象中动量算符的定义：\(p_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) 与 \(p_y = -i\hbar\frac{\partial}{\partial y}\)。将它们代入我们对 \(\Delta\psi\) 的表达式，得到：
\[ \Delta\psi = -\frac{i\epsilon}{\hbar}(xp_y - yp_x)\psi \]将其与无穷小变换的一般形式 \(\Delta\psi = -\frac{i\epsilon}{\hbar}G\psi\)（其中 \(G\) 是生成元）对比，我们可以识别出绕 z 轴旋转的生成元。由于位置算符 \(y\) 与动量算符 \(p_x\) 作用在彼此独立的坐标上，它们彼此对易。得到的生成元就是角动量算符的 z 分量 \(L_z = xp_y - yp_x\)，它是经典定义 \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) 的量子力学对应。
在中心力场中运动的粒子表现出旋转不变性。该对称性意味着角动量算符的各分量 \(L_i\) 与哈密顿算符 \([L_i, H] = 0\) 对易，从而导致角动量守恒。尽管角动量分量在系统能量演化中是守恒的，但它们彼此之间不必对易。为研究这一点，我们可以计算 \(L_x\) 与 \(L_y\) 的对易子。这依赖于位置与动量的基本对易关系，例如 \([x,y]=0\)、\([p_x, p_y]=0\)，以及量子力学的基石——正则对易关系 \([x, p_x] = i\hbar\)。利用定义 \(L_x = yp_z - zp_y\) 与 \(L_y = zp_x - xp_z\)，我们可以求得它们的对易子：
\[ [L_x, L_y] = [yp_z - zp_y, zp_x - xp_z] = i\hbar(xp_y - yp_x) = i\hbar L_z \]通过循环置换，还可以得到 \([L_y, L_z] = i\hbar L_x\) 与 \([L_z, L_x] = i\hbar L_y\)。算符集合 \(\{L_x, L_y, L_z\}\) 在对易运算下是封闭的。这样的结构，以对易子作为“乘法”定义，形成一个李代数。该代数刻画了旋转的几何。
上述对易关系使我们能够以代数方式探究角动量本征值的谱，这种方法让人联想到对谐振子的处理。我们从某一分量（例如 \(L_z\)）的本征态出发，记为 \(|m\rangle\)，满足本征方程 \(L_z|m\rangle = m\hbar|m\rangle\)。为在这些本征态之间跃迁，我们可以引入新的算符。定义升降算符 \(L_+\) 与 \(L_-\) 为：
\[ L_+ = L_x + iL_y \quad \text{and} \quad L_- = L_x - iL_y \]利用 \(L_x, L_y, L_z\) 的对易关系，我们可以求出这些新算符与 \(L_z\) 的对易子：
\[ [L_+, L_z] = - \hbar L_+ \quad \text{and} \quad [L_-, L_z] = \hbar L_- \]考察 \(L_+\) 对一个本征态 \(|m\rangle\) 的作用。我们研究态 \(L_+|m\rangle\)，并检验它是否也是 \(L_z\) 的本征态。
\[ L_z(L_+|m\rangle) = (L_+L_z - [L_+, L_z])|m\rangle = (L_+ (m\hbar) - (-\hbar L_+))|m\rangle = (m+1)\hbar(L_+|m\rangle) \]这表明 \(L_+|m\rangle\) 是 \(L_z\) 的新本征态，其新本征值为 \((m+1)\hbar\)。因此，\(L_+\) 充当升算符，使角动量量子数增加一个单位。同理，\(L_-\) 是降算符。对于任何物理系统，我们预期角动量是有界的；\(m\) 必须存在最大值与最小值。这样的终止是必要的，因为诸如总角动量平方 \(L^2\) 之类的量与能量相关并且必须有限。若存在最高态 \(|m_{max}\rangle\)，对其施加升算符必须得到零：\(L_+|m_{max}\rangle = 0\)。类似地，对于最低态有 \(L_-|m_{min}\rangle=0\)。由此要求可以推出 \(m_{max} = -m_{min}\)，并且角动量量子数的允许取值分成两类：整数（\(\dots, -1, 0, 1, \dots\)）与半整数（\(\dots, -1/2, 1/2, \dots\)）。对于来源于粒子空间运动的轨道角动量（\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)），物理上只出现整数值。
对于具有旋转对称性的系统，角动量算符与哈密顿算符对易，这意味着它们共享一组共同的本征态。这是量子力学中的一个基本结果：如果两个算符对易，我们总能找到一组同时是二者本征态的基底。其原因在于，对于任意哈密顿算符 \(H\) 的能量本征态 \(|\psi\rangle\)（能量为 \(E\)），态 \(L_z|\psi\rangle\) 也具有相同的能量，因为 \(H(L_z|\psi\rangle) = L_z H |\psi\rangle = E(L_z|\psi\rangle)\)。对于非简并能级，这迫使 \(|\psi\rangle\) 也必须是 \(L_z\) 的本征态。按定义，非简并能级只对应唯一的态（差一个常数因子）。既然 \(|\psi\rangle\) 与 \(L_z|\psi\rangle\) 具有相同的能量 \(E\)，则 \(L_z|\psi\rangle\) 必须与 \(|\psi\rangle\) 成正比，即 \(L_z|\psi\rangle = c|\psi\rangle\)，其中 \(c\) 为常数。这正是 \(|\psi\rangle\) 为 \(L_z\) 的本征态的定义。对于简并能级（多个态共享同一能量），上述论证对单个态不成立，但它保证 \(L_z\) 将简并子空间映射到其自身，从而允许我们在该子空间中构造一组同时本征基。于是我们可以用角动量量子数 \(m\) 来标记能量本征态，并考虑一个态 \(|m\rangle\)，使得 \(H|m\rangle = E|m\rangle\)。接着我们考察施加升算符 \(L_+|m\rangle\) 后得到的态的能量，其正比于 \(|m+1\rangle\)。将哈密顿算符作用在这一新态上，并利用所有角动量算符都与 \(H\) 对易这一事实，我们得到：
\[ HL_+|m\rangle = L_+H|m\rangle = L_+(E|m\rangle) = E(L_+|m\rangle) \]这表明这个新态（以及由此 \(|m+1\rangle\) 这个本征态）具有相同的能量 \(E\)。因此，从最小到最大 \(m\) 值由升降算符彼此连接的所有态都是简并的。这种能量简并是系统旋转对称性的直接结果。