Advanced Quantum Mechanics

对于一维谐振子问题，其哈密顿量可以表示为 \(H = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega^2 x^2\)。我们的目标是求解其能量本征方程 \(H\varphi = E\varphi\)。为了用一种更简洁的代数方法求解，我们引入一对阶梯算符，定义为： \[ a^{\pm} = \frac{p \pm i\omega x}{\sqrt{2\omega}} \] 其中 \(a^+\) 通常被称为创生算符 \(a^\dagger\)，而 \(a^-\) 被称为湮灭算符 \(a\)。通过这些算符，我们可以将哈密顿量表达成一个更简洁的形式。我们定义粒子数算符为 \(N = a^\dagger a\)。经过推导可以发现，哈密顿量与粒子数算符的关系为： \[ H = \omega \left(N + \frac{1}{2}\right) \] 这个形式极大地简化了问题的求解过程。 直接求解谐振子的薛定谔方程是一个二阶常微分方程，过程较为繁琐。狄拉克发明了一种更深刻的代数方法，其核心思想是尝试对哈密顿算符 \(H\) 进行“因式分解”。哈密顿量 \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\) 在自然单位制（令 \(m=1, \hbar=1\)）下为 \(H = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega^2 x^2\)，这个形式很像平方和 \(A^2+B^2\)。虽然在量子力学中位置算符 \(x\) 和动量算符 \(p\) 不对易（\([x, p] = i\)），不能像普通数字一样直接分解，但这个思路启发我们去构造一对互为厄米共轭的算符 \(a\) 和 \(a^\dagger\)，使得 \(H\) 能用它们的乘积 \(a^\dagger a\) 来简洁地表达。这对算符就是我们之前引入的升降算符。 ...

为了解具有中心势的系统中粒子的状态（例如原子中的电子），我们在球坐标中用波函数 \( \psi(r, \theta, \phi) \) 描述其状态。这里的一个关键数学技巧是变量分离法。该方法之所以适用，是因为系统的势能具有球对称性，即它只依赖于到中心的距离 \(r\)，而不依赖于角度 \( \theta \) 或 \( \phi \)。这种对称性使我们能够将波函数分解为径向部分 \( R(r) \) 与角向部分 \( Y(\theta, \phi) \) 的乘积。通过将 \( \psi(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta, \phi) \) 表达出来，我们可以把单一而复杂的薛定谔方程转化为一组更简单的一维常微分方程，并分别求解。 问题的角向部分由角动量算符 \(L_x, L_y, L_z\) 所支配。这些算符彼此不对易，满足诸如 \( [L_x, L_y] = i\hbar L_z \) 的对易关系。由于它们不对易，量子态不可能同时对三个分量都具有确定值。标准做法是选择一个分量（通常为 \(L_z\)），并寻找它与总角动量平方算符 \(L^2\) 的共同本征态。我们可以用各自的量子数对这些本征态进行标记，例如 \(|m\rangle\)，其对应于 \(L_z\) 算符的本征值 \(m\hbar\)。为了探索这些本征值的谱，我们引入阶梯（升降）算符，定义为 \(L_{\pm} = L_x \pm iL_y\)。这些算符具有强大的作用：当升算符 \(L_+\) 作用在本征态 \(|m\rangle\) 上时，会产生一个新的状态，它同样是 \(L_z\) 的本征态，但其本征值增加到 \((m+1)\hbar\)。因此，我们可以将这一新状态标记为 \(|m+1\rangle\)，并得到基本关系 \( L_+|m\rangle \propto |m+1\rangle \)。这种代数方法揭示出一个本征态“梯子”，其沿 z 轴的角动量以一个单位为间距。 ...

对称性可以理解为一种算符，当作用于系统时，使其基本特征保持不变。例如，晶格具有平移对称性；沿晶格矢量移动其位置并不会改变其结构。在量子力学中，这一概念与能级的简并密切相关。简并意味着不同的量子态可以具有相同的能量。虽然对称性有时意味着简并，但能级的简并总是系统中某种潜在对称性的标志。 让我们从旋转对称性出发。设想一个在圆周上运动的粒子，这是一个在旋转下不变的系统。其状态由波函数 \(\psi(\theta)\) 描述。如果我们将系统逆时针旋转一个无穷小角度 \(\epsilon\)，波函数变换为 \(\psi(\theta) \rightarrow \psi(\theta - \epsilon)\)。波函数的变化 \(\Delta\psi\) 可写为： \[ \Delta\psi \approx -\epsilon \frac{\partial\psi}{\partial\theta} = -\frac{i\epsilon}{\hbar} \left(-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\right) \] 注意到角动量算符是 \(L_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\theta}\)，于是有： \[ \Delta\psi = -\frac{i\epsilon}{\hbar}L_z\psi \] 在此语境下，\(L_z\) 是旋转的生成元。将其作用于波函数，刻画一次微小旋转的效果。同样的原理适用于线性动量，其中 \(p_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\) 是沿 x 轴平移的生成元。需注意，为了简化，计算中有时将 \(\hbar\) 取为 1，但这里将其显式保留。 角动量算符的本征值和本征向量是什么？本征方程为 \(L_z|\psi\rangle = m|\psi\rangle\)，其中 \(m\) 是本征值。这给出微分方程： \[ -i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial\theta} = m\psi(\theta) \] 其解具有形式 \(\psi(\theta) = C e^{im\theta/\hbar}\)。一个物理约束是波函数必须是单值的，即 \(\psi(\theta) = \psi(\theta + 2\pi)\)。这意味着经过一周旋转后，波函数必须回到原状。这导致条件： \[ e^{im2\pi/\hbar} = 1 \] 当且仅当 \(m/\hbar\) 为整数时成立。传统上，我们将该整数记作 \(m\)，于是角动量被量子化，其允许取值为 \(L_z = m\hbar\)。 ...

在量子力学中，物理系统的状态由一个态矢量描述，使用狄拉克的括号记号（bra-ket）记作 \(|\psi\rangle\)。这些态矢量是称为希尔伯特空间的复向量空间中的元素。 给定两个态矢量 \(|\psi\rangle\) 和 \(|\phi\rangle\)，它们的内积是一个复数，记为 \(\langle\phi|\psi\rangle\)。如果两个不同状态的内积为零，即 \(\langle\phi|\psi\rangle = 0\)，则称这些状态正交，表示完全独立的物理情形。 可以测量的物理量，如位置、动量和能量，称为可观测量。在量子力学中，可观测量由厄米算符表示。算符 \(A\) 若等于其自身的共轭转置 \(A = A^\dagger\)，则为厄米的。厄米算符的一个关键性质是其本征值总是实数，这是必要的，因为它们对应物理测量的结果。 当测量一个可观测量 \(A\) 时，唯一可能的结果是该算符的本征值。本征方程为： $$ A |\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle $$ 其中，\(\alpha\) 是一个本征值，\(|\alpha\rangle\) 是对应的本征矢。如果我们对 \(A\) 进行测量并得到结果 \(\alpha\)，系统的状态将坍缩到相应的本征态 \(|\alpha\rangle\)。 为了描述空间中的粒子，我们常在位置基底中工作。基底矢量记作 \(|x\rangle\)，表示具有确定位置 \(x\) 的状态。态矢量 \(|\psi\rangle\) 在该基底中的表象是波函数 \(\psi(x)\)，其由内积定义： $$ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle $$ 记号 \(\langle x|\psi\rangle\) 可能令人困惑。将其与熟悉的离散向量空间（如三维欧几里得空间）类比会有所帮助。 在离散基底中： 设想一个标准的三维向量 \(\vec{V}\)。我们可以在一个基底中表示它，该基底是一组三个正交的单位矢量 \(B = \{\hat{e}_1, \hat{e}_2, \hat{e}_3\}\)（例如 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\)）。 基底是完整集合 \(B\)。 基底矢量是该集合中的一个成员，例如 \(\hat{e}_1\)。其中的 1 是一个离散指标。 要找到 \(\vec{V}\) 沿 \(\hat{e}_1\) 方向的分量，我们取点积（即内积）：\(V_1 = \hat{e}_1 \cdot \vec{V}\)。 该向量可以通过对其分量求和来重建：\(\vec{V} = V_1 \hat{e}_1 + V_2 \hat{e}_2 + V_3 \hat{e}_3 = \sum_{i=1}^3 (\hat{e}_i \cdot \vec{V}) \hat{e}_i\)。 在连续的位置基底中： ...