伊辛模型
遵循 Susskind 的 Statistical Mechanics 课程，第 9 讲。 伊辛模型中单个自旋的能量为： \[E = -J\sigma\]其中： \(E\) 是该自旋的能量 \(J\) 是耦合常数（相互作用强度） \(\sigma\) 是自旋取值，可以是 +1（自旋向上）或 -1（自旋向下） 聚焦于单个自旋。 它的配分函数 \(Z\)，对两个构型求和（\(\sigma = +1, \sigma = -1\)），为： \[ Z = \sum_{\sigma \in \{+1, -1\}} e^{-\beta(-J\sigma)} = \sum_{\sigma \in \{+1, -1\}} e^{\beta J\sigma} = e^{\beta J(+1)} + e^{\beta J(-1)} = e^{\beta J} + e^{-\beta J} = 2 \cosh(\beta J) \]（对于由 \(N\) 个独立、无相互作用的自旋组成的系统，总配分函数的对数是可加的：\(\ln Z_{total} = N \ln Z\)。） 让我们计算该自旋的平均能量 \(\langle E \rangle\)： 平均能量由 \(\langle E \rangle = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta}\) 给出。 由于 \(Z = 2 \cosh(\beta J)\)，它对 \(\beta\) 的导数为 \(\frac{\partial Z}{\partial \beta} = 2J \sinh(\beta J)\)。 将这些代入关于 \(\langle E \rangle\) 的表达式中： ...