The Early Universe

在这篇文章中，我想介绍现代宇宙学的基本假设，即FLRW模型，同时也作为爱因斯坦场方程的一个应用。 思路很简单：给定一个FLRW度规，代入场方程，然后我们就能推导出尺度因子\(a\)（它是度规的一个参数）如何随\(t\)坐标变化。这里我用一个Python程序来表达这些计算。 import sympy as sp from sympy.diffgeom import Manifold, Patch, CoordSystem, TensorProduct from sympy.diffgeom.diffgeom import metric_to_Ricci_components, metric_to_Christoffel_2nd from sympy import Symbol, Function, sin, simplify, Matrix # Define spacetime dimensions dim = 4 # Define manifold and coordinate system (using spherical coordinates) M = Manifold('M', dim) patch = Patch('P', M) coords = CoordSystem('coords', patch, [ Symbol('t', real=True), Symbol('r', real=True, positive=True), Symbol('theta', real=True, positive=True), Symbol('phi', real=True) ]) # Get coordinate functions and basic one-forms t, r, theta, phi = coords.coord_functions() dt, dr, dtheta, dphi = coords.base_oneforms() # Define scale factor and curvature parameter (using natural units c=1) a = Function('a')(t) # Scale factor as a function of time k = Symbol('k') # Spatial curvature parameter # Construct FLRW metric # ds² = -dt² + a(t)²[dr²/(1-kr²) + r²(dθ² + sin²θ dφ²)] g = -TensorProduct(dt, dt) + \ a**2 * (TensorProduct(dr, dr)/(1-k*r**2) + \ r**2 * TensorProduct(dtheta, dtheta) + \ r**2 * sin(theta)**2 * TensorProduct(dphi, dphi)) # Matrix form of the metric (for Einstein tensor calculation) g_matrix = Matrix([ [-1, 0, 0, 0], [0, a**2/(1-k*r**2), 0, 0], [0, 0, a**2*r**2, 0], [0, 0, 0, a**2*r**2*sin(theta)**2] ]) # Calculate Christoffel symbols Christoffel = metric_to_Christoffel_2nd(g) # Calculate Ricci tensor Ricci_tensor = metric_to_Ricci_components(g) # Define coordinate index names coord_names = ['t', 'r', 'θ', 'φ'] # Calculate inverse metric tensor g_inverse = Matrix([ [-1, 0, 0, 0], [0, (1-k*r**2)/a**2, 0, 0], [0, 0, 1/(a**2*r**2), 0], [0, 0, 0, 1/(a**2*r**2*sin(theta)**2)] ]) # Calculate Ricci scalar R = g^{μν} * R_{μν} Ricci_scalar = 0 for i in range(dim): for j in range(dim): Ricci_scalar += g_inverse[i, j] * Ricci_tensor[i, j] Ricci_scalar = simplify(Ricci_scalar) # Calculate Einstein tensor G_μν = R_μν - (1/2) * g_μν * R Einstein_tensor = Matrix([[0 for _ in range(dim)] for _ in range(dim)]) for i in range(dim): for j in range(dim): Einstein_tensor[i, j] = Ricci_tensor[i, j] - (1/2) * g_matrix[i, j] * Ricci_scalar Einstein_tensor[i, j] = simplify(Einstein_tensor[i, j]) # Print Christoffel symbols print("Christoffel symbols of FLRW metric (Γ^μ_νρ):") for i in range(dim): for j in range(dim): for k in range(dim): if Christoffel[i, j, k] != 0: print(f"Γ^{coord_names[i]}_{coord_names[j]}{coord_names[k]} = {simplify(Christoffel[i, j, k])}") # Print Ricci tensor print("\nRicci tensor of FLRW metric (R_μν):") for i in range(dim): for j in range(dim): if Ricci_tensor[i, j] != 0: print(f"R_{coord_names[i]}{coord_names[j]} = {simplify(Ricci_tensor[i, j])}") # Print Ricci scalar print("\nRicci scalar of FLRW metric (R):") print(f"R = {Ricci_scalar}") # Print Einstein tensor print("\nEinstein tensor of FLRW metric (G_μν):") for i in range(dim): for j in range(dim): if Einstein_tensor[i, j] != 0: print(f"G_{coord_names[i]}{coord_names[j]} = {Einstein_tensor[i, j]}") Christoffel symbols of FLRW metric (Γ^μ_νρ): Γ^t_rr = -a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/(k*r**2 - 1) Γ^t_θθ = a(t)*r**2*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t) Γ^t_φφ = a(t)*sin(theta)**2*r**2*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t) Γ^r_tr = Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/a(t) Γ^r_rt = Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/a(t) Γ^r_rr = -k*r/(k*r**2 - 1) Γ^r_θθ = k*r**3 - r Γ^r_φφ = (k*r**2 - 1)*sin(theta)**2*r Γ^θ_tθ = Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/a(t) Γ^θ_rθ = 1/r Γ^θ_θt = Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/a(t) Γ^θ_θr = 1/r Γ^θ_φφ = -sin(2*theta)/2 Γ^φ_tφ = Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/a(t) Γ^φ_rφ = 1/r Γ^φ_θφ = 1/tan(theta) Γ^φ_φt = Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)/a(t) Γ^φ_φr = 1/r Γ^φ_φθ = 1/tan(theta) Ricci tensor of FLRW metric (R_μν): R_tt = -3*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t)/a(t) R_rr = (-2*k - a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) - 2*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)/(k*r**2 - 1) R_θθ = (2*k + a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) + 2*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)*r**2 R_φφ = (2*k + a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) + 2*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)*sin(theta)**2*r**2 Ricci scalar of FLRW metric (R): R = 6*(k + a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) + Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)/a(t)**2 Einstein tensor of FLRW metric (G_μν): G_tt = 3.0*(k + Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)/a(t)**2 G_rr = (1.0*k + 2.0*a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) + 1.0*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)/(k*r**2 - 1) G_θθ = (-1.0*k - 2.0*a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) - 1.0*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)*r**2 G_φφ = (-1.0*k - 2.0*a(t)*Subs(Derivative(a(_xi), (_xi, 2)), _xi, t) - 1.0*Subs(Derivative(a(_xi), _xi), _xi, t)**2)*sin(theta)**2*r**2 将最终的爱因斯坦张量代入爱因斯坦方程。以\( G_{tt} \)为例： ...

为了推导爱因斯坦场方程，我们从涉及能量与动量的物理考量出发，并结合来自时空曲率的几何考量。 爱因斯坦场方程依赖于三个基本假设： 能量守恒 动量守恒 牛顿引力方程 对于假设1和2，能量-动量张量的守恒律成立： \[ \nabla_\mu T^{\mu \nu} = 0 \]能量-动量张量 \(T^{\mu \nu}\) 概括了关键的物理量，其表示为： \[ T^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{pmatrix} \]其中： \(T^{00} = \rho\)：能量密度 \(T^{i0} = P_i\)：在第\(i\)个空间方向上的动量密度 \(T^{0i} = S_i\)：在第\(i\)个空间方向的能流 \(\sigma_{ij}\)：空间应力，与压力和应力相关 一个关键特征是该张量的对称性 \(T^{\mu \nu} = T^{\nu \mu}\)，这表明能流 \(S_i\) 等于动量密度 \(P_i\)。尽管这看起来似乎违反直觉，但它自然源于爱因斯坦的质能等价： ...

在这篇文章中，我希望学习关于\( \nabla \)符号的一些基础知识，以及一个与黎曼曲率张量相关的重要公式。 I. 联络 定义：光滑流形\( (M, \mathcal{O}) \)上的联络\( \nabla \)是一个映射，它把由向量场\( X \)和\( (p, q) \)-张量场\( T \)组成的有序对映射为\( (p, q) \)-张量场\( \nabla_X T \)，满足： \( \nabla_X f = X f \), \(\forall f \in C^\infty(M) \) \( \nabla_X (T + S) = \nabla_X T + \nabla_X S \) \( \nabla_X (T(\omega, Y)) = (\nabla_X T)(\omega, Y) + T(\nabla_X \omega, Y) + T(\omega, \nabla_X Y) \) （对于\( (1, 1) \)-张量场\( T \)，但对任意\( (p, q) \)-张量场\( T \)同理）。 （“莱布尼茨”） ...

在本文中，我们将更深入探讨微分几何的概念，主要聚焦于黎曼张量、里奇张量以及标量曲率的概念。 一、黎曼张量 A. 定义 我们从一个\(d\)维流形\(M\)出发，其上赋予了（伪）黎曼度规\(g_{\mu\nu}\)。与该度规相容的联络为Levi-Civita联络\(\nabla\)。黎曼曲率张量（常简称为黎曼张量）\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\)定义为作用在向量场\(V^\rho\)上的协变导数的对易子： \[ \bigl[\nabla_\mu, \nabla_\nu\bigr] V^\rho \;=\; R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} \, V^\sigma. \] 用指标记号，另一种常见的写法是： \[ R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} \;=\; \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \;-\; \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} \;+\; \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\,\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} \;-\; \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\,\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}, \] 其中\(\Gamma^\rho_{\mu\nu}\)是与Levi-Civita联络相关的Christoffel符号。 记号约定 希腊指标\(\mu, \nu, \rho, \sigma, \ldots\)从0到\(d-1\)（若流形是\(d\)维）。 通过度规\(g_{\mu\nu}\)升降指标，例如\(V_\mu = g_{\mu\nu}V^\nu\)。 \(\Gamma^\rho_{\mu\nu}\)为Christoffel符号，定义为 \[ \Gamma^\rho_{\mu\nu} \;=\; \frac{1}{2}\,g^{\rho\lambda} \Bigl( \partial_\mu g_{\lambda\nu} +\partial_\nu g_{\lambda\mu} -\partial_\lambda g_{\mu\nu} \Bigr). \] B. 通过沿闭合回路的平行移动推导 1. 平行移动 考虑流形上的一个向量场\(V^\rho\)。沿曲线\(\gamma(\tau)\)对\(V^\rho\)进行的“平行移动”由条件给出：\(V^\rho\)沿该曲线的切向方向的协变导数为零。数学上表示为： \[ \frac{dV^\rho}{d\tau} = \frac{d x^\mu}{d\tau} \nabla_\mu V^\rho = 0. \] 展开协变导数，得到： ...

在这篇文章中，我希望建立一些微分几何的基础，以便理解爱因斯坦场方程。 1. 黎曼曲率张量及其性质 黎曼曲率张量的定义： 黎曼曲率张量 \( R^i_{jkl} \) 是微分几何中的一个基本对象，表示流形的内禀曲率。其定义为： \[ R^i_{jkl} = \partial_k \Gamma^i_{jl} - \partial_l \Gamma^i_{jk} + \Gamma^i_{km} \Gamma^m_{jl} - \Gamma^i_{lm} \Gamma^m_{jk} \] 其中 \( \Gamma^i_{jk} \) 是克里斯托费尔符号。 黎曼曲率张量的性质： 比安基恒等式： \[ \nabla_m R^i_{jkl} + \nabla_k R^i_{jlm} + \nabla_l R^i_{jmk} = 0 \] 对称性： 在最后两个指标上反对称： \[ R^i_{jkl} = -R^i_{jlk} \] 在交换第一对与第二对指标时反对称： \[ R^i_{jkl} = -R^j_{ikl} \] 应用： 黎曼张量刻画当沿闭合回路进行平行输运时，向量被旋转或改变的程度。 2. 测地线及其推导原理 测地线方程： 测地线是在弯曲空间中连接两点的最短路径，其方程可通过极小化作用量得到： \[ \int ds = \int \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}} \, d\tau \] 其中 \( g_{\mu \nu} \) 是度量张量，\( \tau \) 是仿射参数。 ...

在这篇文章中，我想构建一些关于爱因斯坦场方程的基础知识。首先，我将基于上一篇关于宇宙学的文章提出几个问题： 什么是爱因斯坦张量和能量-动量张量？ 爱因斯坦场方程是如何推导出来的？ 在宇宙学背景下，什么是完美流体近似？ 我们如何从爱因斯坦场方程推导出弗里德曼方程和加速度方程？ 我们参考这门课程。 1. 四速度与固有时 四速度 \( u^\mu \) 描述粒子在时空中的运动，定义为： \[ u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} \] 其中： \( x^\mu = (ct, x, y, z) \)：时空坐标。 \( \tau \)：固有时，即在粒子静止系中测得的时间。 在广义相对论中，采用 \( (-, +, +, +) \) 度规符号约定时，四速度的归一化条件为： \[ u^\mu u_\mu = -c^2 \]如果我们使用自然单位制（\( c = 1 \)），则可简化为： \[ u^\mu u_\mu = -1 \] 2. 能量与动量 四动量 \( P^\mu \) 将能量 \( E \) 与空间动量 \( \vec{p} \) 组合在一起： \[ P^\mu = (E/c, \vec{p}) \]关键组成： ...

我想学习宇宙学，也许从 Andrew Liddle 的书《An Introduction to Modern Cosmology》和 MIT OpenCourseWare 的课程《The Early Universe》开始。 标准大爆炸 它并不说明大爆炸的成因，而是描述大爆炸之后的结果。它假设在大爆炸之前所有物质已经存在。 宇宙暴胀 大爆炸的前传。 当压力为负时，引力可以表现为排斥。（在下一部分了解更多关于引力与压力关系的内容。） 早期宇宙中存在一块具有排斥性引力的物质，这就是大爆炸的成因。 这种排斥性物质的（质量/能量）密度在膨胀过程中不会降低。解决办法是引入负能量。 互补性：引力与压力的关系 下面是对这些思想的高层次介绍，随后列出了一些宇宙学与广义相对论中的关键公式，展示为何负压可以产生排斥性的引力效应。 1. 能量-动量张量与爱因斯坦场方程 在广义相对论（GR）中，引力由爱因斯坦场方程描述，它把时空的几何（通过爱因斯坦张量 \(G_{\mu\nu}\)）与时空的能量与动量内容（通过能量-动量张量 \(T_{\mu\nu}\)）联系起来： \[ G_{\mu\nu} \;=\; \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}, \]其中 \(G\) 是引力常数，\(c\) 是光速。左边体现时空的曲率，右边说明质量、能量、动量与压力如何决定这种曲率。 完美流体近似 在宇宙学中，我们常将宇宙的内容（无论是物质、辐射还是暴胀子场）建模为“完美流体”，其能量-动量张量写作： \[ T_{\mu\nu} \;=\; (\rho + p)\,u_{\mu}\,u_{\nu} \;+\; p\,g_{\mu\nu}. \] \(\rho\) 是能量密度。 \(p\) 是压力。 \(u_\mu\) 是流体的四速度。 \(g_{\mu\nu}\) 是时空的度规张量。 这个公式体现了不仅 \(\rho\)，\(p\) 也在决定时空曲率中扮演重要角色，而不仅仅是质量或能量密度本身。 2. 弗里德曼–勒梅特–罗伯逊–沃尔克（FLRW）宇宙学 在宇宙学应用中，我们常假设宇宙是均匀、各向同性的，由 FLRW 度规描述。在这一假设下，从爱因斯坦场方程导出两条关键方程（弗里德曼方程）： 弗里德曼方程（关于膨胀率 \(H = \dot{a}/a\)）： \[ H^2 \;=\; \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 \;=\; \frac{8\pi G}{3}\,\rho \;-\; \frac{k}{a^2} \;+\; \frac{\Lambda}{3}, \]其中 ...